Гойдалка на дитячому майданчику злегка хитається від пориву вітру, а вантаж на пружині повільно повертається до центру після поштовху. Ці рухи повторюються з чіткою регулярністю, і ключ до їхнього розуміння — період коливань. Найпростіший спосіб визначити його полягає в вимірюванні часу для кількох циклів: період T дорівнює загальному часу t, поділеному на кількість коливань n, тобто T = t / n. Для математичного маятника формула спрощується до T = 2π √(l / g), де l — довжина нитки, g — прискорення вільного падіння.
Такий підхід працює скрізь — від шкільної лабораторії до складних приладів. Розуміння періоду відкриває двері до світу гармонічних коливань, де кожна система має свою “ритміку”. Далі розберемо, як це обчислювати крок за кроком, з прикладами та нюансами, які роблять розрахунки точними й захопливими.
Що ховається за поняттям періоду коливань
Коливання — це рух, що повертається до початкової точки через рівні проміжки часу, ніби серцебиття природи. Період T — це саме той інтервал, за який система завершує один повний цикл: від крайнього відхилення в один бік, через центр, до протилежного краю й назад. Вимірюється в секундах, позначається T.
Частота ν, число коливань за секунду, пов’язана простою формулою ν = 1 / T, одиниця — герц (Гц). Амплітуда A — максимальне відхилення, але на період для гармонічних коливань (малих кутів чи слабкого тертя) вона не впливає. Це ізохронізм робить маятники ідеальними для годинників.
У реальному світі коливання згасають через тертя, але період лишається стабільним, доки не втручаються зовнішні сили. Розрізняють вільні (самостійні) та вимушені (підштовхувані), але принцип знаходження T однаковий.
Експеримент: як виміряти період коливань на практиці
Найнадійніший метод — лабораторний, бо формули спрощують реальність. Візьміть нитку з вантажем чи пружину, секундомір і готові.
Ось покроковий план для нитяного маятника:
- Закріпіть нитку довжиною l (від 0,5 до 1 м) з кулькою масою 20–50 г. Відхиліть на малий кут (до 5–10°), щоб уникнути нелінійностей.
- Запустіть коливання й почекайте стабілізації. Відлічіть час t для n = 20–50 коливань — це зменшує похибку.
- Обчисліть T = t / n. Повторіть 3–5 разів для середнього значення.
- Змініть l чи масу, запишіть дані в таблицю.
Після вимірів побудуйте графік T² від l — пряма лінія підтвердить формулу. Такий експеримент не тільки дає T, а й дозволяє знайти g з нахилу ≈ 4π² / g.
| Довжина l, м | Час t для 20 коливань, с | Період T, с | T², с² |
|---|---|---|---|
| 0.40 | 16.2 | 0.81 | 0.66 |
| 0.60 | 19.8 | 0.99 | 0.98 |
| 0.80 | 22.6 | 1.13 | 1.28 |
| 1.00 | 25.3 | 1.27 | 1.61 |
Таблиця на основі типових шкільних даних (uk.wikipedia.org). Нахил ≈ 4π² / g ≈ 4, дає g ≈ 9.8 м/с². Графік ідеально лінійний для малих амплітуд.
Формула періоду для математичного маятника: від теорії до практики
Математичний маятник — точка на невагомій нитці. Для малих кутів θ рівняння руху F = -mg sinθ ≈ -mg θ веде до гармонічного осцилятора. Виведення: диференціальне рівняння θ” + (g/l) θ = 0, рішення θ = θ_m cos(ωt + φ), де ω = √(g/l), отже T = 2π / ω = 2π √(l / g).
Залежність драматична: удвічі довша нитка — період на 41% довший. На Місяці (g=1.6 м/с²) T для l=1 м виростає до 5 с. Приклад: годинниковий маятник l=0.994 м має T=2 с — секунда на півколивання.
Розв’яжімо задачу: маятник довжиною 0.5 м на Землі. T = 2π √(0.5 / 9.8) ≈ 1.42 с. За годину (2520 коливань) — похибка 1 с через зміну температури на 1°C (нитка розтягується).
Пружинний маятник: коли маса та жорсткість правлять балом
Пружина з вантажем — інша історія. Сила Гука F = -kx, рівняння x” + (k/m) x = 0, T = 2π √(m / k). Період росте з масою, падає з жорсткістю. Дві пружини паралельно: k_eq = k1 + k2, послідовно — 1/k_eq = 1/k1 + 1/k2.
- Приклад 1: m=0.2 кг, k=100 Н/м. T=2π √(0.2/100)=0.89 с.
- Приклад 2: Подвоїти масу — T √2 ≈1.26 с, як гойдалка з важчим хлопцем.
- Автомобільна підвіска: k від амортизаторів, T≈0.5–1 с для комфорту.
Ці коливання моделюють амортизатори — період визначає, як швидко авто “заспокоюється” після ями.
Фізичний маятник: для реальних тіл з розмірами
Протяжне тіло, як лінійка на шарнірі. Формула T=2π √(I / (m g d)), де I — момент інерції відносно осі, d — відстань до центру мас. Для стержня довжиною L, осі на краю: I=(1/3)m L², d=L/2, T=2π √(2L/(3g)).
Порівняльна таблиця (fizika.dp.ua):
| Тип маятника | Формула T | Залежність |
|---|---|---|
| Математичний | 2π √(l/g) | √l, не залежить від m |
| Пружинний | 2π √(m/k) | √m, 1/√k |
| Фізичний | 2π √(I/(m g d)) | Від форми, розмірів |
Фізичний маятник точніший для гирь годинників — центр мас нижче осі зменшує T.
Типові помилки при визначенні періоду коливань
Великі кути відхилення (понад 10°) роблять коливання негармонічними — sinθ ≠ θ, T зростає на 1–2%. Рішення: відхиляйте мінімально.
Неточне вимірювання часу: один коливання — похибка 0.1 с, для 20 — лише 0.005 с. Завжди рахуйте багато циклів!
Ігнор тертя чи повітря: для пружини — додає фазовий зсув, для маятника — скорочує T на 0.5%. Компенсуйте автоколиваннями, як у годиннику.
Неправильна довжина l: від точки підвісу до центру маси, не до краю вантажу. Помилка 5%!
Температурний дрейф: металеві пружини розширюються, k падає. У лабі фіксуйте T на початку.
Ці пастки перетворюють точний експеримент на приблизний — уникайте їх, і ваші дані засяють.
Історія: від собору до космосу
Галілей у 1583 році в Пізанському соборі помітив лампу, що гойдається: період не змінювався від амплітуди. Це народження ізохронізму! Гюйгенс у 1656-му створив маятниковий годинник — точність зросла з хвилин до секунд на добу.
Сьогодні маятники в гіроскопах дронів стабілізують політ, у MEMS-сенсорах смартфонів вимірюють прискорення. Сейсмографи ловлять землетруси за мікроколиваннями. Навіть у квантовій механіці “маятникові” стани атомів задають ритм лазерів.
Задачі: тренуйте розрахунок періоду самостійно
Перед таблицею розберемо приклади — від простих до хитрих.
- Маятник l=1 м, g=9.8 м/с². T=? Відповідь: 2.01 с. Розрахунок: 2π √(1/9.8)≈2.01.
- Пружина k=50 Н/м, m=0.1 кг. T=? 0.89 с.
- Фізичний: стержень L=0.6 м, вісь на краю. T=? (I=0.12 кг·м², m=0.2 кг, d=0.3 м). T=2π √(0.12/(0.2·9.8·0.3))≈1.59 с.
- Ракета з a=5 м/с² вгору, l=0.5 м. T=? 1.28 с (g_eff=14.8).
Ці вправи показують, як T реагує на параметри. Варіюйте — і відкриєте закони самі.
Практичні поради: коливання вдома чи в гаражі
Зробіть маятник з мотузки й гирі — перевірте T на різних поверхнях. Пружина від ручки + гайка: міняйте навантаження, малюйте графік √m від T. У гаражі — амортизатор авто: підстрибніть, засічіть цикли.
Додаток до телефону з акселерометром фіксує коливання — порівняйте з ручним. Для просунутих: Arduino з датчиком — логніть дані, підженіть криву sin(ωt).
Такі експерименти не просто дають T, а й показують, як фізика пульсує в повсякденні. Спробуйте — і світ заграє ритмами!
Залишити відповідь