Дванадцять блискучих яблук лежать на столі, і ви хочете роздати їх трьом друзям порівну. Кожному по чотири – ідеально, без крихти остачі. Ось тут і з’являється поняття кратного числа: 12 кратне 3, бо ділиться без залишку. Це базова ідея, яка пронизує математику, ніби невидима нитка в тканині чисел.
Формально, число a називають кратним числу b, якщо існує натуральне число k, таке що a = b × k. Або простіше: при діленні a на b остача дорівнює нулю. Наприклад, 24 кратне 6 (24 ÷ 6 = 4), 30 кратне 5 (30 ÷ 5 = 6), але 25 не кратне 6 (25 ÷ 6 = 4 з остачею 1). Кожне натуральне число має нескінченно багато кратних – просто множте на 1, 2, 3 і так далі до безкінечності.
Ця проста концепція відкриває двері до складніших ідей, як найменше спільне кратне чи ознаки подільності, які економлять години обчислень. Розберемо все по поличках, з прикладами з життя, щоб ви відчули, як кратні числа оживають за межами зошита.
Основне визначення кратного числа та його властивості
Уявіть числа як гілки дерева: корінь – дільник, а гілки розростаються кратними. Кратне число завжди більше або рівне своєму “батьку”-дільнику, окрім випадку з 1. Будь-яке число кратне 1 (бо k = a саме по собі) і своєму значенню (k=1). Але 0 – окрема історія: воно кратне всьому, бо 0 ÷ b = 0 з остачею 0, проте в натуральних числах ми уникаємо нулів для чистоти.
Властивості кратних вражають своєю логікою. Якщо a кратне b, а b кратне c, то a кратне c – транзитивність, ніби ланцюгова реакція. Сума двох кратних одного числа теж кратна йому: 12 + 18 = 30, все кратне 6. Різниця аналогічно. Добуток кратних зберігає кратність. Ці правила – фундамент для алгоритмів і задач.
- Нескінченність: Для 7 кратні – 7, 14, 21… без кінця.
- Найменше: Само число, як 9 для кратних 9.
- Парність: Кратні парних чисел завжди парні, бо множать на парне.
Після списку стає ясно: кратні – не хаос, а впорядкована послідовність. Використовуйте це для швидких перевірок у задачах, де час – золото.
Приклади кратних чисел у дії
Візьміть 42. Його кратні: 42×1=42, 42×2=84, 42×3=126, 42×4=168 і далі. Тепер навпаки: які числа кратні 42? Тільки множники від 42: 84, 126 тощо. Щоб знайти всі кратні до певного ліміту, скажімо 200, множте доки не перевищите.
Практичний приклад: у магазині пачка печива по 8 штук. Скільки пачок купити на 40 гостей? 40 кратне 8? 40÷8=5 – так, ідеально. Якщо 45 – ні, бо остача 5, купіть 6 пачок (48>45).
- Оберіть число b (дільник).
- Множте на k=1,2,3… для a.
- Перевірте: a % b == 0.
Такі кроки перетворюють абстракцію на інструмент. Спробуйте з 15: кратні 15,30,45,60… Застосуйте в бюджеті: витрати кратні 100 грн для округлення.
Кратні числа проти дільників: ключові відмінності
Дільник – протилежність кратному. Якщо a кратне b, то b – дільник a. 24 кратне 8 (24=8×3), отже 8 ділить 24. Кількість дільників скінченна (для 24: 1,2,3,4,6,8,12,24), кратних – ні.
| Число | Дільники | Кратні (перші 5) |
|---|---|---|
| 12 | 1,2,3,4,6,12 | 12,24,36,48,60 |
| 18 | 1,2,3,6,9,18 | 18,36,54,72,90 |
| 25 | 1,5,25 | 25,50,75,100,125 |
Таблиця з mathab.com.ua показує симетрію. Дані верифіковано на uk.wikipedia.org. Плутанина тут – часта пастка для новачків.
Найменше спільне кратне: формула успіху
НСК двох чисел – найменше число, кратне обом. Для 4 і 6: 12 (не 24). Формула: НСК(a,b) = (a × b) / НСД(a,b). НСД 4 і 6=2, то (24)/2=12. Розклад на прості множники: берете максимальні степені.
Приклад: 8=2^3, 12=2^2×3. НСК=2^3×3=24. Застосування: спільний знаменник дробів 1/8 + 1/12 = ? 24-й знаменник.
У 2025 році НСК актуальне в логістиці: розклади автобусів кожні 15 і 20 хв – НСК 60 хв для синхронізації.
Ознаки подільності: швидкий тест на кратність
Не хочете ділити великі числа? Ознаки – рятівник. Перед списком: вони базуються на остачі від 10^k.
- На 2: остання цифра парна (0,2,4,6,8). 346 – так.
- На 3: сума цифр кратна 3. 123:1+2+3=6 – так.
- На 5: закінчується 0 або 5. 125 – так.
- На 9: сума цифр кратна 9. 81:8+1=9.
- На 10: закінчується 0.
Комбінуйте: на 6 – на 2 і 3. З mathab.com.ua та uk.wikipedia.org. Ці трюки прискорюють задачі в 10 разів.
Історія кратних чисел: від Вавилону до комп’ютерів
Вавилоняни 2000 р. до н.е. використовували кратні для календарів – цикли Місяця кратні Сонцю. Евклід у “Початках” (300 р. до н.е.) формалізував через ділення. Середньовічні арабські математики розвинули НСК для астрономії.
У 17 ст. Ферма пов’язав з теорією чисел. Сьогодні – основа RSA-шифрування, де прості числа та кратні ховають ключі. Еволюція від глиняних табличок до алгоритмів – захоплює!
Застосування кратних чисел у реальному світі
У програмуванні: цикл while i % 5 == 0 – кратні 5. Алгоритм Ератосфена викреслює кратні для простих чисел. У графіці: текстури кратні 4 для GPU.
Економіка: кредити кратні 100 грн. Фізика: хвилі з периодами кратними. Музика: ритми кратні 4/4. Будівництво: плитка 30×30 кратна стіні 120 см.
Типові помилки при роботі з кратними числами
Плутанина дільників і кратних: Багато хто каже “24 дільник 6”, бо забуває напрямок.
- Забувають остачу=0: 10÷4=2.5 – не кратне.
- Ігнор 1: кожне кратне 1, але не навпаки.
- НСК плутають з добутком: для 7 і 11=77, бо взаємно прості.
- Від’ємні: -12 кратне 3? Так, бо (-12)÷3=-4.
- Великі числа без розкладу: використовуйте ознаки!
Уникайте цих ям, практикуючи задачі. Перевірка %==0 – золотий стандарт у коді.
Практичні кейси: кратні в IT та бізнесі
Кейс 1: Сервер обробляє запити кожні 3 с, оновлення – 5 с. НСК=15 с для синхронізації. У Python: math.lcm(3,5).
Кейс 2: Фабрика пакує коробки по 12 і 18. НСК=36 для оптимальної партії.
Кейс 3: Гра в FizzBuzz: друкуй “Fizz” для кратних 3. Простий цикл демонструє концепцію.
Ці приклади з buki.com.ua показують: кратні – не теорія, а інструмент ефективності. Експериментуйте в Excel чи Python – відчуйте магію.
Кратні числа переплітаються з ритмом життя, від серцебиття (кратне секундам) до орбіт планет. Занурюйтесь глибше, і світ чисел розкриється новими гранями.
Залишити відповідь