Лінійна нерівність має вигляд (ax + b > 0), (ax + b < 0), (ax + b \ge 0) або (ax + b \le 0), де (a \ne 0). Система з однією змінною — це дві чи більше таких нерівностей, записаних під фігурною дужкою. Значення (x) є розв’язком лише тоді, коли воно перетворює кожну нерівність на правильну числову нерівність. Часткове виконання умов не зараховується.
На практиці відповідь майже завжди є променем, інтервалом, півінтервалом, відрізком або порожньою множиною. Подвійна нерівність (a < x \le b) є стислим записом тієї самої системи, а сукупність нерівностей працює за іншим правилом: там достатньо однієї правильної умови, тому множини об’єднують, а не перетинають.
Що саме фіксує фігурна дужка
Рівняння \(2x – 6 = 0\) має корінь \(x = 3\): підстановка дає тотожність, і на цьому пошук закінчується. Система \(\begin{cases} 2x – 6 \ge 0 \\ 5 – x > 0 \end{cases}\) вимагає іншого режиму перевірки. Число має витримати обидва випробування підряд. Для \(x = 3\) перша нерівність дає \(0 \ge 0\), друга — \(2 > 0\), отже 3 входить у множину розв’язків. Для \(x = 6\) перша правильна, друга ні: \(5 – 6 = -1 \not> 0\). Для \(x = 1\) падає вже перша умова.
Тому розв’язок системи — не «корінь» і не список кількох зручних чисел, а вся спільна частина проміжків. У шкільній алгебрі 9 класу цю спільну частину називають перерізом і позначають знаком \(\cap\). Запис \((2; +\infty) \cap (-\infty; 5) = (2; 5)\) означає: беруть лише ті числа, які лежать в обох множинах.
Якщо нерівностей три, логіка не змінюється. Система \(\begin{cases} x \ge -1 \\ x < 4 \\ 2x > 1 \end{cases}\) дає проміжки \([-1; +\infty)\), \((-\infty; 4)\) і \((0{,}5; +\infty)\). Переріз усіх трьох — \((0{,}5; 4)\). Число \(-1\) задовольняє першу нерівність і не задовольняє третю, тож до відповіді не входить, хоча на прямій стоїть близько до межі.
Розв’язок системи лінійних нерівностей з однією змінною — це значення, яке перетворює кожну нерівність системи на правильну числову нерівність; розв’язати систему означає знайти всі такі значення або показати, що їх немає.
Рівносильні перетворення і момент, коли знак змінюється
Кожну нерівність системи спочатку зводять до простішого рівносильного вигляду. До обох частин можна додати або відняти одне й те саме число: знак нерівності зберігається. Обидві частини можна помножити або поділити на додатне число — напрям нерівності теж лишається. Множення чи ділення на від’ємне число перевертає знак: зі знака \(>\) виходить \(<\), зі знака \(\ge\) виходить \(\le\), і навпаки.
Саме цей крок дає найбільше розбіжностей між чорнеткою і правильною відповіддю. Для \(-3x + 6 \le 0\) спочатку отримують \(-3x \le -6\). Ділення на \(-3\) змінює знак, тому \(x \ge 2\), а не \(x \le 2\). Проміжок \([2; +\infty)\) і промінь у протилежний бік не мають нічого спільного, крім однієї точки на межі, яка в суворій версії ще й випадає.
Дробові коефіцієнти краще прибирати множенням на додатне спільне кратне знаменників. У нерівності \(\dfrac{x}{2} – 1 > \dfrac{x}{3}\) множення на 6 дає \(3x – 6 > 2x\), далі \(x > 6\). Знак не змінювався, бо 6 додатне. Якщо ж після зведення подібних коефіцієнт при \(x\) від’ємний, переворот обов’язковий незалежно від того, чи з’явився він із самого початку, чи після перенесення доданків.
Нуль у коефіцієнті виводить запис із класу лінійних нерівностей зі змінною. Вираз \(0 \cdot x + 4 > 1\) перетворюється на числову нерівність \(4 > 1\), правильну для будь-якого дійсного \(x\). Вираз \(0 \cdot x + 2 < 0\) хибний завжди, і тоді вся система не має розв’язків, навіть якщо сусідня нерівність сама по собі широка.
Числова пряма: від окремих променів до спільного проміжку
Після спрощення кожну нерівність зображають на одній координатній прямій. Для нестрогої межі точку зафарбовують, для строгої — виколюють. Нескінченність не є числом, тому в інтервальному записі біля \(-\infty\) і \(+\infty\) завжди стоїть кругла дужка.
Розглянемо систему \(\begin{cases} x – 4 \le 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}\). Перша дає \(x \le 4\), тобто \((-\infty; 4]\). Друга дає \(x > -1{,}5\), тобто \((-1{,}5; +\infty)\). На прямій лівий промінь іде від виколотої точки \(-1{,}5\) праворуч, правий — від зафарбованої 4 ліворуч. Спільна частина — \((-1{,}5; 4]\). Кінці перевіряють окремо: \(x = 4\) задовольняє обидві умови, \(x = -1{,}5\) другу не задовольняє.
Інший типовий випадок — вкладені промені. Для \(\begin{cases} x > 1 \\ x > 4 \end{cases}\) переріз \((1; +\infty) \cap (4; +\infty)\) дорівнює \((4; +\infty)\). Вужча умова поглинає ширшу. Запис відповіді як \((1; +\infty)\) тут уже помилковий: число 2 виконує лише першу нерівність.
Десяткові й дробові межі не змінюють алгоритму. Система \(\begin{cases} 5x – 1 \ge 2 \\ 0{,}4x < 1{,}2 \end{cases}\) зводиться до \(x \ge 0{,}6\) і \(x < 3\). Переріз — \([0{,}6; 3)\). Якщо завдання просить цілі розв’язки, з цього проміжку беруть 1 і 2; їхня сума дорівнює 3. Нуль не входить, бо \(0 < 0{,}6\).
Подвійна нерівність і система з трьох обмежень
Запис \(-2 < 3x – 1 \le 8\) є подвійною нерівністю і рівносильний системі \(\begin{cases} 3x – 1 > -2 \\ 3x – 1 \le 8 \end{cases}\). До всіх трьох частин додають 1: \(-1 < 3x \le 9\). Ділення на додатне 3 зберігає знаки: \(-\dfrac{1}{3} < x \le 3\), тобто \(\left(-\dfrac{1}{3}; 3\right]\). Обидві дії виконують з усіма частинами одразу; інакше легко зрушити лише одну межу.
Три незалежні умови зустрічаються в задачах на одночасні обмеження величини. Нехай запас деталі \(x\) має бути не меншим за 12, не більшим за вантажність 40 і при цьому після відвантаження 7 одиниць залишатися додатним у суворому сенсі контролю: \(\begin{cases} x \ge 12 \\ x \le 40 \\ x – 7 > 0 \end{cases}\). Третя нерівність дає \(x > 7\), але її переріз із \([12; 40]\) не розширює і не звужує відрізок: відповідь \([12; 40]\). Зайва, слабша умова не псує систему, якщо її правильно перетнули, проте вона маскує помилку, коли учень забуває про сильнішу межу.
Зворотний випадок корисний для самоконтролю. Якщо після спрощення одна з нерівностей дає \(x < 2\), а інша \(x \ge 9\), подальші обчислення вже не потрібні: проміжки \((-\infty; 2)\) і \([9; +\infty)\) не перетинаються. Відповідь — порожня множина \(\varnothing\).
Система, сукупність і порожня множина
Фігурна дужка системи вимагає одночасності. Квадратна дужка сукупності вимагає лише того, щоб виконувалася хоча б одна нерівність. Для тих самих проміжків відповіді розходяться: переріз може бути порожнім, а об’єднання — широким.
| Ознака | Система нерівностей | Сукупність нерівностей | Подвійна нерівність |
|---|---|---|---|
| Запис | Фігурна дужка | Квадратна дужка | \(a < x \le b\) |
| Логіка | Усі умови правильні | Хоча б одна правильна | Обидві межі одночасно |
| Дія з проміжками | Переріз \(\cap\) | Об’єднання \(\cup\) | Переріз двох променів |
| Порожня відповідь | Можлива, якщо проміжки роз’їхалися | Лише якщо кожна нерівність сама не має розв’язків | Якщо ліва межа не менша за праву в суворому сенсі |
Дані таблиці відповідають стандартній шкільній моделі числових проміжків, прийнятій у курсі алгебри.
Для системи \(\begin{cases} x > 5 \\ x < 2 \end{cases}\) переріз порожній. Та сама пара в сукупності дає \((-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\). Плутанина цих двох записів змінює зміст задачі: «і те, і те» перетворюється на «або те, або те». У текстовій умові маркером системи є слова «водночас», «при цьому», «і водночас не більше». Маркером сукупності — «або», «принаймні одна з умов».
Порожня множина є повноцінною відповіддю. Її не замінюють нулем, одиницею чи «розв’язків безліч»: нуль — конкретне число, а порожнеча означає, що жодне дійсне число не пройшло всі умови.
Де розв’язок ламається найчастіше
Більшість хибних відповідей виникає не через незнання означення, а через один пропущений жест на прямій або зі знаком. Нижче — збої, які повторюються в письмових роботах.
- Знак не перевернули після ділення на від’ємний коефіцієнт. Промінь іде в протилежний бік, і переріз або спотворюється, або стає порожнім без причини в умові.
- Переріз замінили об’єднанням. Обидві нерівності розв’язані правильно, але у відповідь потрапили числа, які виконують лише одну з них.
- Межу включили в строгу нерівність. Для \(x > 3\) дужка кругла, точка виколота; для \(x \ge 3\) дужка квадратна, точка зафарбована. Нескінченність при цьому все одно лишається з круглою дужкою.
- Подвійну нерівність розірвали й перенесли доданок лише в одну частину. Межі зсуваються нерівномірно, і проміжок стає довшим або коротшим на стале число.
- Цілі розв’язки зібрали з усього проміжку, включно з виколотими кінцями. Для \((-6; -3)\) цілими є лише \(-5\) і \(-4\); їхня сума дорівнює \(-9\), а не \(-13\).
- Після спрощення забули повернутися до вихідної змінної, якщо робили заміну на кшталт \(t = 2x\). Відповідь у \(t\) і відповідь у \(x\) — різні множини.
У нашій практиці ми стикалися з таким випадком, коли учень акуратнo розв’язав \(\begin{cases} -2x < 8 \\ x + 1 \ge 3 \end{cases}\), отримав \(x > -4\) і \(x \ge 2\), а у відповідь записав \((-4; +\infty)\). Перевірка числом \(0\) одразу викриває збій: перша нерівність правильна, друга ні. Достатньо підставити одне внутрішнє і одне межове значення, щоб відрізнити переріз від ширшого променя.
Кейс із областю допустимих значень і з межею бюджету
Системи лінійних нерівностей з однією змінною з’являються там, де кілька лінійних обмежень мають діяти разом. Для виразу \(\sqrt{2x + 4} + \sqrt{6 – x}\) підкореневі вирази невід’ємні: \(\begin{cases} 2x + 4 \ge 0 \\ 6 – x \ge 0 \end{cases}\). Звідси \(x \ge -2\) і \(x \le 6\), переріз \([-2; 6]\). Саме цей відрізок є областю допустимих значень. Число \(-2\) входить, бо корінь із нуля визначений; число \(7\) уже виводить другий корінь із дійсних чисел.
Той самий механізм працює в простій бюджетній межі. Нехай вартість замовлення в гривнях задовольняє \(\begin{cases} 40x + 15 \le 255 \\ x \ge 1 \end{cases}\), де \(x\) — кількість однакових позицій, а 15 — фіксована доставка. Перша нерівність дає \(40x \le 240\), тобто \(x \le 6\). Разом із \(x \ge 1\) отримуємо \([1; 6]\). Якщо \(x\) за змістом ціле, допустимі 1, 2, 3, 4, 5 і 6. Дробове 6,2 формально не виходить за грошову межу лише після округлення кількості, тому в дискретній задачі його відсікають умовою цілості, а не самою лінійною нерівністю.
За моїм досвідом використання цього протягом місяця на повторенні перед контрольною найстійкіший результат давала однакова послідовність: спрощення кожної нерівності, позначення меж, штрихування, і лише потім інтервальний запис. Пропуск прямої особливо б’є по системах із трьома умовами, де дві межі близькі, а третя відсікає половину нібито готового проміжку.
Чек-лист перед тим, як закрити зошит
Коротке проходження списку ловить саме ті розходження, які не видно в акуратному почерку.
- Коефіцієнт при \(x\) після зведення подібних додатний чи від’ємний, і чи змінено знак саме у від’ємному випадку.
- Кожну нерівність зображено на одній прямій: строга межа виколота, нестрога зафарбована.
- У відповіді стоїть переріз, а не об’єднання, якщо в умові фігурна дужка.
- Біля \(-\infty\) і \(+\infty\) круглі дужки; квадратна дужка лише біля скінченної нестрогої межі.
- Межові числа підставлено у вихідну систему, а не лише в уже спрощену.
- Якщо просять цілі розв’язки або їхню суму, з проміжку вилучено виколоті кінці.
- Порожній переріз записано як \(\varnothing\), а не як 0 чи «будь-яке число».
Пункт про підстановку особливо корисний для дробових меж. Для відповіді \(\left(-\dfrac{1}{3}; 3\right]\) число 3 має витримати обидві частини подвійної нерівності, а \(-\dfrac{1}{3}\) — не витримати строгу ліву межу. Одна невдала підстановка дешевша за повторне розв’язання всієї системи.
Питання, які виникають просто над прикладом
Чим розв’язок системи відрізняється від розв’язку однієї лінійної нерівності? Одна нерівність дає один промінь або всю пряму чи порожню множину. Система дає переріз кількох таких множин, тому відповідь може стати коротшим проміжком або зникнути, хоча кожна нерівність окремо має безліч розв’язків.
Чи можна записувати відповідь і проміжком, і подвійною нерівністю? Так, якщо переріз є суцільним проміжком зі скінченними або нескінченними межами. Запис \(-1{,}5 < x \le 4\) і запис \((-1{,}5; 4]\) означають одну множину. Для об’єднання двох розведених променів подвійна нерівність не підходить.
Що робити, якщо проміжки дотикаються в одній точці? Дивитися на тип межі. Переріз \((-\infty; 2)\) і \([2; +\infty)\) порожній, бо 2 не входить у перший. Переріз \((-\infty; 2]\) і \([2; +\infty)\) містить лише число 2. Одна точка — допустима множина розв’язків системи.
Коли метод інтервалів тут зайвий? Для лінійних нерівностей і їхніх систем достатньо рівносильних перетворень і перерізу променів. Метод інтервалів потрібен далі, коли після зведення з’являється добуток або частка кількох лінійних множників і знак змінюється в кількох нулях.
Як перевірити відповідь без графіка? Взяти число всередині заявленого проміжку, число зовні і обидві межі. Внутрішнє має пройти всі нерівності, зовнішнє — зірвати хоча б одну, межа — пройти лише тоді, коли дужка квадратна. Цього досить, щоб відрізнити \([2; 5)\) від \((2; 5]\) і від порожньої множини.
Той самий каркас переноситься на системи з параметром, тільки межа починає залежати від букви, і пряму доводиться розбивати на випадки. Поки параметр не входить, вирішальними лишаються три речі: напрям знака після ділення, тип точки на межі й чесний переріз, а не сума всіх знайдених променів.